Beispielrechnungen mit MuPAD

f1:=x1*y2-x2*y1+x3*y1-y3*x1+x2*y3-x3*y2;

f1a:=(x1+u)*(y2+v) -(x2+u)*(y1+v) +(x3+u)*(y1+v) - (y3+v)*(x1+u) +
(x2+u)*(y3+v) -(x3+u)*(y2+v);

expand(%);

M:=Dom::Matrix()([[0,1],[-1,0]]);
g:=proc(u) begin subs(u, [x=y,y=-x]) end_proc;

     Berechnung einer Basis von [R]_d durch lineare Algebra 

computeBasis:=proc(d) local f,i,s;
begin 
  f:=_plus(a[i]*x^i*y^(d-i)$i=0..d);
  s:=solve({coeff(f-g(f),[x,y])}); 
  subs(f,s[1]);
end_proc;

// Aktion der C_4 als Drehgruppe des Quadrats auf auf k[x,y] 

f2:=x^2+y^2;
f4a:=x^4+y^4; f4b:=x^3*y-x*y^3; f4c:=x^2*y^2;
f6a:=x^6+y^6; f6b:=x^5*y-x*y^5; f6c:=x^4*y^2+x^2*y^4;

// Relation zwischen den Invarianten vom Grad 8

p:=[f2^4,f2^2*f4b, f2^2*f4c, f4b^2,f4c^2,f4b*f4c];
r:=_plus(a[i]*F[i]$i=1..6);
sol:=solve({coeff(subs(r,[F[i]=p[i]$i=1..6]),[x,y])});
subs(r,sol[1],a[5]=4);

Probe: 
expand(f4b^2 - f2^2*f4c + 4*f4c^2);