Vorlesung Konstruktive Theorie der Invarianten endlicher Gruppen (2 V)

Dr. Hans-Gert Gräbe, apl. Prof. am Institut f. Informatik

Teilnehmerkreis

Studenten im Haupt- oder Nebenfach Informatik oder Mathematik, die sich mit speziellen Algorithmen des symbolischen Rechnens intensiver beschäftigen wollen.

Spezialvorlesung im Schwerpunkt Theoretische oder Angewandte Informatik.

Übersicht

Oft werden Invarianzeigenschaften von Problemen durch die Aktion einer Gruppe G dargestellt. Eine typische solche Situation ist die folgende: G ist eine endliche Gruppe, die auf einem Vektorraum V linear operiert und damit auch auf dem Ring R der polynomialen Funktionen auf V, also dem Polynomring R := k[x_1, ..., x_n], wenn x_1, ..., x_n eine Basis von V ist. Invariante Eigenschaften werden oft durch Polynome beschrieben, die unter dieser Gruppenaktion invariant sind. Der entsprechende Unterring R^G von R ist deshalb von besonderem Interesse.

In der Vorlesung werden numerische Invarianten von R^G, Darstellungsmöglichkeiten durch Erzeugende und Relationen, konstruktive Verfahren zur Gewinnung von Primär- und Sekundärinvarianten und die Charakterisierung von G-Aktionen, die Invariantenringe mit vorgegebenen Eigenschaften liefern, vorgestellt.

Insbesondere werden die folgenden Themen behandelt:

• Grundbegriffe der Invariantentheorie
• Reynoldsoperator und Fundamentalinvarianten
• Molienreihe, Struktursätze
• Charakterisierung polynomialer Invariantenalgebren
• Die Invariantenringe der Symmetriegruppen der platonischen Körper

Die Vorlesung orientiert sich in ihrem theoretischen Teil am Buch [Sturmfels 93].

Literatur

• H.Derksen, G.Kemper: Computational invariant theory. Springer, Berlin 2002.
• I.G.MacDonald : Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Univ. Press, 1979.
• E.Noether : Der Endlichkeitssatz für Invarianten endlicher Gruppen. Math. Ann. 77 (1916), 89 – 92.
• T.A.Springer : Invariant theory. Lect. Notes in Math. 585, Springer, New York 1977.
• R.P.Stanley : Invariants of finite groups and their application to combinatorics. Bull. Amer. Math. Soc. 1 (1979), 475 – 511.
• B.Sturmfels : Algorithms in invariant theory. Texts and monographs in symbolic computation 1, Springer 1993.

Erwartete Vorkenntnisse

Kenntnisse der höheren Algebra.

Anrechnung der Leistung

Am Ende der Vorlesung biete ich eine mündliche Prüfung an, deren Ergebnis als modulbegleitende Prüfung oder für einen Schein zur Vorlesung Anrechnung finden kann. In jedem Fall ist dazu eine individuelle Absprache erforderlich.